🌳 L’arbre des facteurs premiers

Chaque nombre cache un arbre ! On décompose le nombre en facteurs, branche après branche, et au bout des branches, les nombres premiers fleurissent. Faisons pousser ensemble l’arbre de 60 !

Un nombre premier est un nombre supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Avec 6 points, on peut faire 2 lignes de 3, mais avec 7 points, on ne peut faire qu’une seule ligne. Donc 7 est premier et 6 ne l’est pas.

Attention : 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur. 2 est le plus petit nombre premier et le seul nombre premier pair. Les autres nombres pairs, comme 4, 6 et 8, sont divisibles par 2, donc ils ne sont pas premiers.

Des critères rapides aident avant de faire pousser l’arbre. Si le chiffre des unités est pair, le nombre est divisible par 2. Si la somme des chiffres est un multiple de 3, il est divisible par 3. Si le chiffre des unités est 0 ou 5, il est divisible par 5. 60 réussit les trois tests !

Décomposons 60 en deux facteurs : 60 = 6 × 10. Puis 6 = 2 × 3 et 10 = 2 × 5. Quand tous les bouts des branches sont premiers, l’arbre fleurit. C’est un arbre des facteurs premiers.

Une erreur fréquente : partir de 60 = 4 × 15 et s’arrêter à 4. Mais 4 n’est pas premier ! Continue à brancher : 4 = 2 × 2. L’arbre n’est fini que quand tous les bouts sont premiers.

Deux jardiniers décomposent 60 avec des branches différentes : l’un part de 6 × 10, l’autre de 2 × 30. Les arbres ne se ressemblent pas, mais les fleurs sont les mêmes : 2, 2, 3 et 5. Quelle que soit la branche de départ, on obtient les mêmes facteurs premiers.

Écrivons les fleurs sous forme de produit : 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Écrire un nombre comme un produit de nombres premiers s’appelle la décomposition en facteurs premiers. On peut aussi utiliser une puissance : 2² × 3 × 5. L’ordre peut changer, mais les nombres sont toujours les mêmes.

L’arbre de 42 : 42 = 2 × 3 × 7. Les deux arbres ont une fleur 2 et une fleur 3, donc 2, 3 et 2 × 3 = 6 divisent les deux nombres. 1 divise aussi tous les nombres. Les diviseurs communs de 60 et de 42 sont 1, 2, 3 et 6.

Résumé : un nombre premier a exactement deux diviseurs, et 1 n’est pas premier. Fais pousser l’arbre jusqu’à ce que tous les bouts soient premiers : 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Les fleurs communes de deux arbres t’aident à trouver les diviseurs communs. Essaie maintenant dans la Forêt des nombres premiers !