🌳 Asal Çarpan Ağacı

Her sayının içinde bir ağaç saklı! Sayıyı dal dal çarpanlarına ayırırsın, dalların ucunda asal sayılar çiçek açar. Hadi 60’ın ağacını birlikte büyütelim!

Asal sayı (prime number), 1’den büyük olan ve yalnızca 1’e ve kendisine bölünen sayıdır. 6 nokta 2 sıra, 3 sütun dizilebilir, 7 nokta ise yalnızca tek sıra olur. Yani 7 asaldır, 6 asal değildir.

Dikkat: 1 asal değildir, çünkü yalnızca bir böleni var. 2 ise en küçük asal sayıdır ve tek çift asal sayıdır. 4, 6, 8 gibi öbür çift sayılar 2’ye bölündüğü için asal değildir.

Ağacı büyütmeden önce hızlı testler işe yarar. Son basamağı çiftse sayı 2’ye, rakamlarının toplamı 3’ün katıysa 3’e, son basamağı 0 ya da 5 ise 5’e bölünür. 60 üç testi de geçiyor!

60’ı iki çarpana ayır: 60 = 6 × 10. Sonra 6 = 2 × 3 ve 10 = 2 × 5. Bütün dal uçları asal olunca ağaç çiçek açar: bu bir asal çarpan ağacıdır (factor tree).

Sık yapılan hata: 60 = 4 × 15 diye başlayıp 4’te durmak. Ama 4 asal değil! Dallanmaya devam et: 4 = 2 × 2. Ağaç ancak bütün uçlar asal olunca biter.

İki ormancı 60’ı farklı dallarla ayırdı: biri 6 × 10 ile, öbürü 2 × 30 ile başladı. Ağaçlar farklı görünüyor ama çiçekler aynı: 2, 2, 3 ve 5. Hangi dalla başlarsan başla, asal çarpanlar hep aynı çıkar.

Çiçekleri çarpım olarak yazalım: 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Bir sayıyı böyle yalnızca asal sayıların çarpımı olarak yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir. Sıra değişebilir ama sayılar hep aynıdır.

42’nin ağacı: 42 = 2 × 3 × 7. İki ağaçta da 2 ve 3 çiçeği var, yani 2, 3 ve 2 × 3 = 6 iki sayıyı da böler. 1 de her sayıyı böler. 60 ile 42’nin ortak bölenleri (common divisors): 1, 2, 3 ve 6.

Özet: asal sayının yalnızca iki böleni vardır, 1 asal değildir. Ağacı bütün dal uçları asal olana kadar büyüt: 60 = 2 × 2 × 3 × 5. İki ağacın ortak çiçekleri, ortak bölenleri bulmana yardım eder. Şimdi Asal Ormanı’nda dene!