🔢 La machine algébrique : une lettre à la place d’un nombre

Il y a un nombre dans cette boîte, mais nous ne savons pas lequel. En maths, on donne à ce nombre caché une lettre : n. Aujourd’hui, nous allons apprendre à calculer avec des lettres comme avec des nombres.

Nous ne connaissons pas le nombre de la boîte, mais nous pouvons écrire 3 de plus : une boîte et trois balles. Cela s’écrit n + 3. Si la boîte contient 5, alors 5 + 3 = 8.

Le double du nombre de la boîte, ce sont deux boîtes : n + n. On l’écrit plus court : 2 × n. Le triple, ce sont trois boîtes : 3 × n.

Attention, l’ordre des mots est important ! 3 de plus que le double de n : deux boîtes et trois balles, donc 2 × n + 3. Le double de la somme de n et 3 : un groupe avec une boîte et trois balles, pris deux fois, donc 2 × (n + 3). Ce sont deux expressions différentes. « Le double » fait penser à la multiplication, « de plus » à l’addition.

Voici une machine à nombres. On y met un nombre. La machine le multiplie d’abord par 2, puis elle ajoute 3. Mettons-y 4 : 4 fois 2, cela fait 8. Puis 8 plus 3, cela fait 11. La règle de la machine est 2 × n + 3.

Mettons d’autres nombres dans la machine. Si on remplace n par 1, il sort 5. Par 2, il sort 7. Par 5, il sort 13. Par 10, il sort 23. On dit qu’on calcule la valeur de l’expression : on remplace n par le nombre, puis on fait les calculs dans l’ordre.

Donnons un nom aux morceaux de l’expression 2 × n + 3. La lettre n est la variable. Le 2 devant n est le coefficient : il dit combien il y a de n. Le 3 tout seul est le terme constant. Cette expression a deux termes : 2 × n et 3.

Maintenant, construisons des carrés avec des allumettes. Pour un carré, il faut 4 allumettes. Pour une chaîne de deux carrés, 7. Pour trois carrés, 10. Pour quatre carrés, 13. Chaque nouveau carré ajoute seulement 3 allumettes.

Trouvons la règle. L’allumette tout à gauche reste seule : + 1. Chaque carré apporte trois allumettes. Pour n carrés, il y a 3 × n allumettes. Donc une chaîne de n carrés a 3 × n + 1 allumettes. Maintenant, on peut trouver le nombre d’allumettes sans les compter, quel que soit le nombre de carrés !

Résumé : on donne une lettre au nombre qu’on ne connaît pas. 3 de plus que n, c’est n + 3 ; le double de n, c’est 2 × n. Le coefficient est le nombre devant la lettre, le terme constant est le nombre tout seul. On remplace n par un nombre pour trouver la valeur de l’expression. La règle d’une suite de figures est aussi une expression littérale. Essaie maintenant dans la machine algébrique !