🌲 ggT und kgV: Wann welches?

Hallo! Es gibt zwei Arten von Aufgaben. In der einen suchen wir die größte Fliese, in der anderen treffen sich zwei Busse wieder. Beide löst man mit Teilern und Vielfachen. Aber wann nimmt man welches?

Ein Boden ist 24 Dezimeter lang und 36 Dezimeter breit. Wir wollen ihn mit gleich großen quadratischen Fliesen belegen, ohne zu schneiden und ohne Lücke. Mit 8-Dezimeter-Fliesen bleibt ein Streifen übrig. Mit 12-Dezimeter-Fliesen passt es genau. Die Fliese muss also 24 und 36 teilen.

Die Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Die Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Was in beiden Listen steht, sind die gemeinsamen Teiler. Der größte davon ist 12. Das ist der ggT: der größte gemeinsame Teiler.

Bei großen Zahlen werden die Listen lang. Darum nehmen wir einen Primfaktorbaum. 24 ist 2 mal 2 mal 2 mal 3. 36 ist 2 mal 2 mal 3 mal 3. In beiden Bäumen gemeinsam sind die Blätter 2, 2 und 3. Die multiplizieren wir: Der ggT ist 12.

Jetzt die zweite Aufgabe. Zwei Busse fahren gleichzeitig an der Haltestelle ab. Bus A kommt alle 8 Minuten, Bus B alle 12 Minuten. A kommt nach 8, 16 und 24 Minuten. B kommt nach 12 und 24 Minuten. Nach 24 Minuten sind beide wieder zusammen. Das ist das kgV: das kleinste gemeinsame Vielfache.

Das kgV finden wir auch mit dem Baum. 8 ist 2 mal 2 mal 2. 12 ist 2 mal 2 mal 3. Die beiden gemeinsamen Zweien nehmen wir nur einmal. Dann kommt der Rest dazu: von der 8 noch eine 2, von der 12 eine 3. 2 mal 2 mal 2 mal 3 ist 24.

Manche Zahlen haben gar keinen gemeinsamen Primfaktor. 8 ist 2 mal 2 mal 2, 9 ist 3 mal 3. Kein gemeinsamer Faktor, also ist der ggT 1. Solche Zahlen nennt man teilerfremd. Die Zahlen selbst müssen dafür keine Primzahlen sein! Dann ist das kgV einfach das Produkt der Zahlen: 72.

Wie erkennst du in einer Klassenarbeit, was gefragt ist? Wörter wie verteilen, teilen, zerschneiden oder größtes Quadrat sagen ggT. Wörter wie wieder zusammen, zum ersten Mal oder nach wie vielen Minuten sagen kgV. Der ggT ist nie größer als die kleinere Zahl. Das kgV ist nie kleiner als die größere.

Eine kleine Probe: Bei zwei Zahlen ist ggT mal kgV gleich dem Produkt der Zahlen. 24 mal 36 ist 864. 12 mal 72 ist auch 864. So kannst du deine Ergebnisse überprüfen.

Zusammengefasst: Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren und kommt bei Aufgaben zum Verteilen und Zerschneiden vor. Das kgV ist das Produkt aller Faktoren, die gemeinsamen nur einmal, und kommt bei Aufgaben vor, in denen etwas wieder zusammentrifft. Ist der ggT 1, sind die Zahlen teilerfremd. Probier es jetzt im Potenz-Teleskop aus!