🌲 PGCD et PPCM : lequel choisir ?

Salut ! Il y a deux sortes de problèmes. Dans l’un, on cherche le plus grand carreau. Dans l’autre, le moment où deux bus se retrouvent. Les deux se résolvent avec des diviseurs et des multiples. Mais quand choisir lequel ?

Un sol de 24 décimètres sur 36 décimètres. On veut le couvrir de carreaux carrés tous identiques, sans les couper et sans laisser de trou. Avec des carreaux de 8 décimètres, il reste une bande. Avec des carreaux de 12 décimètres, ça tombe juste. Le carreau doit diviser 24 et 36.

Les diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Les diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Ceux qui sont dans les deux listes sont les diviseurs communs. Le plus grand est 12. On l’appelle le PGCD : le plus grand commun diviseur.

Avec de grands nombres, les listes sont trop longues. On utilise alors l’arbre des facteurs premiers. 24 égale 2 fois 2 fois 2 fois 3. 36 égale 2 fois 2 fois 3 fois 3. Les feuilles communes aux deux arbres sont 2, 2 et 3. On les multiplie : le PGCD égale 12.

Passons au deuxième problème. Deux bus partent de l’arrêt en même temps. Le bus A passe toutes les 8 minutes, le bus B toutes les 12 minutes. A passe à la minute 8, 16, 24. B passe à la minute 12 et 24. Ils se retrouvent ensemble à la minute 24. On l’appelle le PPCM : le plus petit commun multiple.

On peut aussi trouver le PPCM avec les arbres. 8 égale 2 fois 2 fois 2. 12 égale 2 fois 2 fois 3. Les deux 2 communs, on les prend une seule fois. Puis on ajoute ce qui reste : un 2 de 8 et un 3 de 12. 2 fois 2 fois 2 fois 3 égale 24.

Certains nombres n’ont aucun facteur premier commun. 8 égale 2 fois 2 fois 2, et 9 égale 3 fois 3. Aucun facteur commun : le PGCD est 1. On dit que ces nombres sont premiers entre eux. Les nombres eux-mêmes n’ont pas besoin d’être premiers ! Dans ce cas, le PPCM est le produit des nombres : 72.

Comment savoir lequel choisir ? Des mots comme partager, découper, couper, le plus grand carré annoncent le PGCD. Des mots comme de nouveau ensemble, la première fois, dans combien de minutes annoncent le PPCM. Le PGCD n’est jamais plus grand que le plus petit des deux nombres. Le PPCM n’est jamais plus petit que le plus grand.

Une petite vérification : pour deux nombres, le PGCD fois le PPCM égale le produit des nombres. 24 fois 36 égale 864. 12 fois 72 égale aussi 864. Tu peux contrôler tes résultats comme ça.

Pour résumer : le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, et il sert pour les partages et les découpes. Le PPCM est le produit de tous les facteurs, les communs une seule fois, et il sert quand on se retrouve ensemble. Si le PGCD est 1, les nombres sont premiers entre eux. Teste-le maintenant dans le télescope des puissances des nombres premiers !