🌲 MCD e mcm: quale scegliere?

Ciao! Ci sono due tipi di problemi. In uno cerchiamo la mattonella più grande, nell’altro l’incontro di due autobus. Tutti e due si risolvono con divisori e multipli. Ma quando serve quale?

Il pavimento misura 24 decimetri per 36 decimetri. Vogliamo coprirlo con mattonelle quadrate uguali, senza tagliarle e senza lasciare spazi. Con mattonelle da 8 decimetri avanza una striscia. Con mattonelle da 12 decimetri entrano giuste. La mattonella deve dividere sia 24 sia 36.

Divisori di 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Divisori di 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. Quelli che stanno in tutti e due sono i divisori comuni. Il più grande è 12. Si chiama MCD: massimo comun divisore.

Con numeri grandi, scrivere le liste è lungo. Allora usiamo l’albero dei fattori primi. 24 è uguale a 2 per 2 per 2 per 3. 36 è uguale a 2 per 2 per 3 per 3. Le foglie in comune nei due alberi sono 2, 2 e 3. Le moltiplichiamo: il MCD è uguale a 12.

Ora il secondo problema. Due autobus partono insieme dalla fermata. L’autobus A passa ogni 8 minuti, l’autobus B ogni 12 minuti. A passa al minuto 8, 16, 24. B passa al minuto 12 e 24. Si ritrovano insieme al minuto 24. Si chiama mcm: minimo comune multiplo.

Anche il mcm si trova con l’albero. 8 è uguale a 2 per 2 per 2. 12 è uguale a 2 per 2 per 3. I due 2 in comune li prendiamo una volta sola. Poi aggiungiamo quelli che restano: un 2 di 8, un 3 di 12. 2 per 2 per 2 per 3 è uguale a 24.

Alcuni numeri non hanno nessun fattore primo in comune. 8 è uguale a 2 per 2 per 2, 9 è uguale a 3 per 3. Nessun fattore in comune, quindi il MCD è 1. Questi numeri si dicono primi tra loro. I numeri stessi non devono per forza essere primi! In questo caso il mcm è il prodotto dei numeri: 72.

Come capisci quale scegliere in un problema? Parole come distribuire, dividere, tagliare, il quadrato più grande dicono MCD. Parole come di nuovo insieme, la prima volta, dopo quanti minuti dicono mcm. Il MCD non è mai più grande del più piccolo dei due numeri. Il mcm non è mai più piccolo del più grande.

Un piccolo controllo: per due numeri, MCD per mcm è uguale al prodotto dei numeri. 24 per 36 fa 864. Anche 12 per 72 fa 864. Puoi controllare così i tuoi risultati.

Riassunto: il MCD è il prodotto dei fattori primi comuni e compare nei problemi di distribuzione e di taglio. Il mcm è il prodotto di tutti i fattori, con i comuni presi una volta sola, e compare nei problemi del tornare insieme. Se il MCD è 1, i numeri sono primi tra loro. Ora provalo nella Telescopio delle Potenze!