√ Wo liegen Quadratwurzeln auf der Zahlengerade?

Wenn du die Fläche eines quadratischen Feldes kennst, kannst du dann seine Seite finden? Heute erkunden wir die Quadratwurzel: Quadratzahlen, die Zahlengerade, teilweises Wurzelziehen und eine Testaufgabe!

Ein quadratisches Feld mit einer Fläche von 25 m² hat eine Seitenlänge von 5 m, denn 5 · 5 = 25. Die Seitenlänge eines Quadrats ist die Quadratwurzel seiner Fläche: √25 = 5.

Zahlen wie 1, 4, 9, 16, 25 und 36, die entstehen, wenn man eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert, heißen Quadratzahlen. Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine ganze Zahl: √36 = 6.

Ein Feld mit einer Fläche von 31 m² ist größer als das 25er-Quadrat und kleiner als das 36er-Quadrat. Weil 25 < 31 < 36 gilt, wissen wir: 5 < √31 < 6. Also liegt √31 zwischen 5 und 6.

Welcher Zahl ist sie also näher? 31 ist 6 Einheiten von 25 entfernt, aber nur 5 Einheiten von 36. 31 liegt näher an 36, also ist √31 näher an 6 (√31 ≈ 5,57).

Auf der Zahlengerade setzen wir √31 zwischen 5 und 6, näher an 6. Probe: 5,5 · 5,5 = 30,25, das ist weniger als 31, also ist √31 größer als 5,5.

Teilweise Wurzel ziehen: Zerlege die Zahl unter der Wurzel in „eine Quadratzahl · eine andere Zahl“. Wähle den größten Quadratfaktor: 48 = 16 · 3. √16 = 4 kommt vor die Wurzel: √48 = 4√3.

Vorsicht, Falle! √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Also ist √(9 + 16) ≠ √9 + √16. Steht unter der Wurzel eine Addition, dann rechne zuerst die Summe aus und ziehe danach die Wurzel.

Testaufgabe: Ein quadratischer Garten hat eine Fläche von 50 m². Zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt die Länge einer Seite? Die Antwort ist C: Weil 49 < 50 < 64 gilt, ist 7 < √50 < 8.

Zusammenfassung: Die Seitenlänge eines Quadrats ist die Quadratwurzel seiner Fläche. Eine Zahl, die keine Quadratzahl ist, liegt zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen, und ihre Wurzel liegt zwischen deren Wurzeln. Beim teilweisen Wurzelziehen ist √48 = 4√3. Eine Wurzel lässt sich nicht auf eine Summe verteilen. Jetzt probier es im Wurzel-Garten aus!