📐 Pythagoras: Das Geheimnis der Quadrate

Das ist ein rechtwinkliges Dreieck: Eine Ecke ist ein rechter Winkel. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten: a und b. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die längste Seite des Dreiecks. Sie heißt Hypotenuse: c.

Zeichnen wir an jede Seite des Dreiecks ein Quadrat. In den Quadraten an den Katheten sind 3 · 3 = 9 und 4 · 4 = 16 Einheitsquadrate. Im Quadrat an der Hypotenuse sind 5 · 5 = 25 Einheitsquadrate.

Nehmen wir die 9 und die 16 Einheitsquadrate aus den kleinen Quadraten und legen sie in das große Quadrat. Alle passen genau hinein, es bleibt keine Lücke! 9 + 16 = 25. Die Flächen der Quadrate an den Katheten sind zusammen so groß wie die Fläche des Quadrats an der Hypotenuse.

Das ist der Satz des Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. In unserem Dreieck gilt 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Eine Leiter lehnt an einer Wand. Ihr Fuß steht 6 m von der Wand entfernt und sie reicht 8 m hoch. Die Länge der Leiter ist die Hypotenuse: 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Wegen c² = 100 ist c = 10 m.

Diesmal kennen wir die Länge der Leiter: 15 m. Ihr Fuß steht 9 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? 9² + b² = 15², also 81 + b² = 225. Daraus folgt b² = 144 und b = 12 m. Wenn die Hypotenuse bekannt ist, finden wir auch eine Kathete.

Wir können auch prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Dazu sehen wir uns das Quadrat der längsten Seite an. 8, 15, 17: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Gleich, also rechtwinklig! 4, 5, 6: 4² + 5² = 41, aber 6² = 36. Nicht gleich, also nicht rechtwinklig.

Früher benutzten Handwerker eine Schnur mit 12 Knoten, um einen rechten Winkel zu bauen. Die Knoten haben gleiche Abstände. Zählt man an einer Seite 3, an einer 4 und an einer 5 Abstände und spannt die Schnur, entsteht ein Dreieck. Weil 3² + 4² = 5² gilt, entsteht dazwischen ein rechter Winkel.

Zusammenfassung: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat: a² + b² = c². Damit finden wir die Länge einer Leiter, eine fehlende Seite und können prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Probier es jetzt in der Pythagoras-Leiter!