📐 Pythagore : le secret des carrés

Voici un triangle rectangle : un de ses angles est droit. Les deux côtés de l’angle droit sont les côtés de l’angle droit : a et b. Le côté en face de l’angle droit, le plus long du triangle, s’appelle l’hypoténuse : c.

Dessinons un carré sur chaque côté du triangle. Les carrés des côtés de l’angle droit contiennent 3 × 3 = 9 et 4 × 4 = 16 carreaux. Le carré de l’hypoténuse contient 5 × 5 = 25 carreaux.

Prenons les 9 et les 16 carreaux des petits carrés et rangeons-les dans le grand carré. Ils rentrent pile, il ne reste aucun vide ! 9 + 16 = 25. La somme des aires des carrés des côtés de l’angle droit est égale à l’aire du carré de l’hypoténuse.

Voici le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, a² + b² = c². La somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse. Dans notre triangle, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Une échelle est appuyée contre un mur. Son pied est à 6 m du mur et elle monte jusqu’à 8 m de hauteur. La longueur de l’échelle est l’hypoténuse : 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Comme c² = 100, on a c = 10 m.

Cette fois, on connaît la longueur de l’échelle : 15 m. Son pied est à 9 m du mur. Jusqu’où monte-t-elle ? 9² + b² = 15², donc 81 + b² = 225. On trouve b² = 144 et b = 12 m. Si on connaît l’hypoténuse, on peut aussi trouver un côté de l’angle droit.

On peut aussi savoir si un triangle est rectangle. On regarde le carré du plus grand côté. 8, 15, 17 : 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². C’est égal : triangle rectangle ! 4, 5, 6 : 4² + 5² = 41 mais 6² = 36. Ce n’est pas égal : le triangle n’est pas rectangle.

Autrefois, certains artisans utilisaient une corde à 12 nœuds pour tracer un angle droit. Les nœuds sont à égale distance. On compte 3 intervalles sur un côté, 4 sur un autre et 5 sur le dernier, et on tend la corde : on obtient un triangle. Comme 3² + 4² = 5², il y a un angle droit entre les côtés de 3 et de 4.

En résumé : dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse : a² + b² = c². Avec ça, on peut trouver la longueur d’une échelle, un côté manquant, et savoir si un triangle est rectangle. Maintenant, essaie dans l’Échelle de Pythagore !