📐 Pitagora: il segreto dei quadrati

Questo è un triangolo rettangolo: un angolo è retto. I due lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti: a e b. Il lato di fronte all’angolo retto, il più lungo, si chiama ipotenusa: c.

Disegniamo un quadrato su ogni lato del triangolo. I quadrati sui cateti hanno 3 × 3 = 9 e 4 × 4 = 16 quadretti. Il quadrato sull’ipotenusa ha 5 × 5 = 25 quadretti.

Prendiamo i 9 e i 16 quadretti dei quadrati piccoli e mettiamoli nel quadrato grande. Ci stanno tutti, senza vuoti! 9 + 16 = 25. La somma delle aree dei quadrati sui cateti è uguale all’area del quadrato sull’ipotenusa.

Ecco il teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo a² + b² = c². La somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa. Nel nostro triangolo 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Una scala è appoggiata a un muro. Il piede è a 6 m dal muro e la scala arriva a 8 m di altezza. La lunghezza della scala è l’ipotenusa: 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Poiché c² = 100, c = 10 m.

Questa volta conosciamo la lunghezza della scala: 15 m. Il piede è a 9 m dal muro. A che altezza arriva? 9² + b² = 15², cioè 81 + b² = 225. Quindi b² = 144 e b = 12 m. Se conosciamo l’ipotenusa, possiamo trovare anche un cateto.

Possiamo scoprire anche se un triangolo è rettangolo. Guardiamo il quadrato del lato più lungo. 8, 15, 17: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Sono uguali: è rettangolo! 4, 5, 6: 4² + 5² = 41 ma 6² = 36. Non sono uguali: non è rettangolo.

Una volta alcuni artigiani usavano una corda con 12 nodi per fare un angolo retto. I nodi sono a distanze uguali. Contando 3 intervalli su un lato, 4 su un altro e 5 sul terzo, e tendendo la corda, si forma un triangolo. Siccome 3² + 4² = 5², fra i primi due lati si forma un angolo retto.

Riassunto: in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa: a² + b² = c². Con questo possiamo trovare la lunghezza di una scala, un lato mancante e capire se un triangolo è rettangolo. Ora provalo nella Scala di Pitagora!