🔭 Potenzen: Zahlen, die immer schneller wachsen

Falten wir ein Blatt Papier in der Mitte. Es hat dann 2 Lagen. Falten wir noch einmal: 4 Lagen. Dann 8, dann 16. Bei jeder Faltung wird die Dicke verdoppelt. Für dieses schnelle Wachsen gibt es eine kurze Schreibweise: die Potenz.

Statt 2 · 2 · 2 · 2 · 2 schreiben wir 25. Die untere Zahl ist die Basis: die Zahl, die multipliziert wird. Die obere Zahl ist die Hochzahl (der Exponent): sie sagt, wie oft die Basis multipliziert wird. 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Achtung, ein häufiger Fehler! 25 ist nicht 2 · 5 = 10. Die Hochzahl sagt, wie oft die Basis multipliziert wird: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Zehnerpotenzen sind leicht. 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1 000. Die Hochzahl sagt, wie viele Nullen hinter der 1 stehen. 106 ist eine Million: sechs Nullen.

Machen wir eine Entfernungs-Reise. Ein Zimmer ist ungefähr 101 Meter lang, ein Stadtviertel 103 Meter, der Durchmesser der Erde ungefähr 107 Meter. Von der Erde zur Sonne sind es etwa 1011 Meter! Wird die Hochzahl größer, wächst die Zahl rasend schnell.

Jetzt wird es klein! Ein Sandkorn ist ungefähr 10−3 Meter groß, also 0,001 m. Ein Bakterium ist ungefähr 10−6 Meter groß, also 0,000001 m. Eine negative Hochzahl bedeutet: es wird klein. 10−n = 1 / 10n.

Um große Zahlen kurz zu schreiben, gibt es die wissenschaftliche Schreibweise: a · 10n mit 1 ≤ a < 10. Bei 45 000 wandert das Komma 4 Stellen nach links: 4,5. Die Zahl der Stellen wird die Hochzahl: 45 000 = 4,5 · 104.

Von der Erde zur Sonne sind es etwa 150 000 000 km. Wandert das Komma 8 Stellen nach links, ergibt das 1,5. Die Entfernung ist also 1,5 · 108 km. In der wissenschaftlichen Schreibweise muss a zwischen 1 und 10 liegen: 1 ≤ 1,5 < 10.

Auch sehr kleine Zahlen schreibt man so. Bei 0,000003 m wandert das Komma 6 Stellen nach rechts: 3. Bei einer kleinen Zahl wird die Hochzahl negativ: 3 · 10−6 m. Bei großen Zahlen ist die Hochzahl positiv, bei kleinen negativ.

Zusammengefasst: Die Hochzahl zeigt, wie oft wir dieselbe Zahl multiplizieren. Bei Zehnerpotenzen stehen so viele Nullen hinter der 1, wie die Hochzahl angibt. Eine negative Hochzahl bedeutet: klein. Die wissenschaftliche Schreibweise ist a · 10n mit 1 ≤ a < 10. Probier es jetzt im Potenz-Teleskop aus!