🔭 Les puissances : des nombres qui grandissent très vite

Plions une feuille en deux. Elle fait 2 couches. Plions encore : 4 couches. Puis 8, puis 16. À chaque pli, l’épaisseur est multipliée par 2. Il existe une façon courte d’écrire cette croissance rapide : la puissance.

Au lieu de 2 × 2 × 2 × 2 × 2, on écrit 25. On lit « 2 puissance 5 ». Le nombre du bas est la base : c’est le nombre que l’on multiplie. Le petit nombre du haut est l’exposant : il dit combien de fois on écrit la base dans le produit. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Attention, une erreur fréquente ! 25, ce n’est pas 2 × 5 = 10. L’exposant dit combien de fois on multiplie la base : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Les puissances de 10 sont faciles. 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1 000. Après le 1, il y a autant de zéros que l’exposant. 106 est un million : 6 zéros.

Faisons un voyage des distances. Une pièce mesure environ 101 mètres, un quartier 103 mètres, le diamètre de la Terre environ 107 mètres. Et la distance de la Terre au Soleil, environ 1011 mètres ! Plus l’exposant grandit, plus le nombre grandit vite.

Maintenant, rapetissons ! Un grain de sable mesure environ 10−3 mètre, soit 0,001 m. Une bactérie mesure environ 10−6 mètre, soit 0,000 001 m. Un exposant négatif veut dire que l’on rapetisse : 10−n = 1 / 10n.

Pour écrire court les grands nombres, il y a la notation scientifique : a × 10n, avec 1 ≤ a < 10. Pour 45 000, on décale la virgule de 4 rangs vers la gauche : 4,5. Le nombre de rangs devient l’exposant : 45 000 = 4,5 × 104.

La distance de la Terre au Soleil est d’environ 150 000 000 km. Si on décale la virgule de 8 rangs vers la gauche, on obtient 1,5. La distance est donc 1,5 × 108 km. En notation scientifique, a doit être entre 1 et 10 : 1 ≤ 1,5 < 10.

Les très petits nombres s’écrivent aussi comme ça. Pour 0,000 003 m, on décale la virgule de 6 rangs vers la droite : 3. Pour un petit nombre, l’exposant est négatif : 3 × 10−6 m. Pour un grand nombre, l’exposant est positif ; pour un petit nombre, il est négatif.

Pour résumer : l’exposant dit combien de fois on multiplie le même nombre. Avec les puissances de 10, il y a autant de zéros que l’exposant. Un exposant négatif veut dire que l’on rapetisse. La notation scientifique s’écrit a × 10n, avec 1 ≤ a < 10. Essaie maintenant dans Le télescope des puissances !